经典全等三角形证明技巧汇总

全等三角形的基础知识

　　啥叫全等三角形？ 简单说，就是两个三角形能完全重合。重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角。

　　深入理解一下：

1. 形状和大小都一样的三角形，就是全等三角形。（长得像）
2. 经过平移、旋转、翻折后能重合的三角形，也是全等三角形。（位置变了但本质没变）

　　怎么表示全等三角形？ 比如△ABC和△A′B′C′全等，就记作“△ABC ≌ △A′B′C′”。“≌”读作“全等于”，对应顶点的字母要写在对应位置上。

　　全等三角形的性质： 全等是为了得到边等或角等，解决实际问题。

对应角相等，对应边相等。

对应边上的高、中线、角平分线也对应相等。

周长和面积也相等。

　　怎么找对应元素？

根据对应顶点找：对应顶点为顶点的角是对应角，对应顶点为端点的边是对应边。

根据已知对应元素找：对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边也是对应边。

通过观察图形的运动变化找：看看一个图形是怎么通过平移、对称、旋转变成另一个图形的。

　　全等三角形的判定：

边边边（SSS）

边角边（SAS）

角边角（ASA）

角角边（AAS）

斜边直角边（HL）

　　注意：

判定全等时，至少有一边对应相等。

不能证明全等的情况：三个角相等（AAA），两边和其中一角相等（SSA）。

　　全等三角形是研究图形的基本工具，特别在证明线段或角相等时特别有用。

　　常见辅助线写法：

过点A作BC的平行线AF交DE于F。

过点A作BC的垂线，垂足为D。

延长AB至C，使BC＝AC。

在AB上截取AC，使AC＝DE。

作∠ABC的平分线，交AC于D。

取AB中点C，连接CD交EF于G点。

　　同一条辅助线，说法不同，得到的条件和证明方法也不同。

中点条件的运用

　　中心对称图形怎么还原？ 中心对称就是图形绕某点旋转180°后能重合。这个点叫对称中心，对应点叫对称点。

　　中心对称的性质：

对称点连线经过对称中心，且被对称中心平分。

中心对称的两个图形全等。

　　中点问题怎么处理？ 中点就是对称中心，遇到中点问题，借助辅助线还原中心对称图形，把分散的条件集中起来。

　　例子：

AD是△ABC中BC边上的中线，若AB=2，AC=4，AD的取值范围是_________。

已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，延长BE交AC于F，AF=EF，求证：AC=BE。

如图，D是△ABC的边BC上的点，且CD=AB，∠ADB=∠BAD，AE是△ABD的中线。求证：AC=2AE。

△ABC中，AD、BE、CF是三边对应中线。（则O为重心） 求证：①AD、BE、CF交于点O。（类倍长中线）；②

　　练习：

在△ABC中，D为BC边上的点，已知∠BAD=∠CAD，BD=CD，求证：AB=AC。

如图，已知四边形ABCD中，AB=CD，M、N分别为BC、AD中点，延长MN与AB、CD延长线交于E、F，求证∠BEM=∠CFM。

如图，AB=AE，AB⊥AE，AD=AC，AD⊥AC，点M为BC的中点，求证：DE=2AM（基本型：同角或等角的补角相等、K型）。

　　两条平行线间线段的中点（“八字型”全等）： 如图，AB∥CD，C是线段AB的中点，过点C的任何直线都可以和两条平行线以及AB构造“8字型”全等。

已知梯形ABCD，AD∥BC，点E是AB的中点，连接DE、CE。求证：_________。

如图，在平行四边形ABCD中，AD=2AB，M是AD的中点，CE⊥AB于点E，∠CEM=40°，求∠DME的大小。（提示：直角三角形斜边中线等于斜边的一半）

已知△ABD和△ACE都是直角三角形，且∠ABD=∠ACE=90°，连接DE，设M为DE的中点。⑴求证：MB=MC；⑵设∠BAD=∠CAE，固定Rt△ABD，让Rt△ACE移至图示位置，此时MB=MC是否成立？请证明你的结论。

　　思考题： 你还能想到哪些利用中点条件解决问题的方法？欢迎分享你的思路！