探析《周易·大衍》数学意蕴：焦氏“大衍数集”构建初探

引 言

　　你知道《易经》吗？那可是咱们老祖宗留下的宝贝。1914年，上海商务印书馆出版的《十三经》里，第一本就是《易经》。里面有个《系辞上传》，提到“大衍之数”。原文这么说的：

　　“大衍之数五十，其用四十有九，分而为二以象两，挂一以象三，揲之以四，以象四时，归奇于扐以象闰。五岁再闰，故再扐而后扣挂。天数五，地数五，五位相得而各有合。天数二十有五，地数三十，凡天地之数五十有五，此所以成变化而行鬼神也。乾之策二百20有六，坤之策百四十有四，凡三百有六十，当期之日。二篇之策万有一千五百二十，当万物之数。是故，四营而成易，十有八易而成卦，八卦而小成。引而伸之，触类而长之，天下之能事毕矣。”

　　这段话听起来有点玄乎，但其实背后有大学问。作者为了搞懂它的现代数学内涵，把全文分成两大部分：第一部分是“大衍之数五十，其用四十有九”，叫“大衍命题”；第二部分是后面的全文，叫“大衍经文”。本文就是要研究这个“大衍命题”的现代数学理论。

　　从秦汉到现在，研究《易经》的学者们对这章句的解读，大致分三大类。

　　第一类，秦始皇焚书时，把《周易》当巫卜书保留下来，所以大衍章句讲的是怎么占卜起卦的数学原理。朱熹在《周易本义》里讲得特别细。

　　第二类，《周易》可是咱中国最早的经典，融合了《河图》、《洛书》和《易卦》三大符号体系，包含了哲学、数学和科学。大衍章句就是中国原始文化的数学基础。从秦汉到明清，所有学术著作的术数理论，都离不开这个基础。

　　第三类，大衍命题的建立，揭开了中国古代数学思想史的新篇章。西汉的赵爽第一个用数学解释大衍命题，还证明了勾股弦定理，真是牛人一个！

　　本文的目的，就是用现代数学理论，解读大衍命题的数学内涵。先简单说说怎么用大衍推证勾股弦定理，再推证大衍命题能导出的基本数学定理，最后看看它的实际应用。

周易大衍与商高定理

　　中国最早的数学书是《周髀算经》，开头是周公和商高的对话。周公问：“数径怎么来的？”商高说：“数法出于圆方，圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。所以折矩以为勾广三，股修四，径偶五。”这段话的意思是，直角三角形的弦平方等于勾股平方和，即32+42=52。

　　有个小插曲，西方的毕达哥拉斯学派也发现了这个定理，但比商高晚了六百年。

　　大衍文开头说：“大衍之数五十，其用四十有九，分而为二以象两，挂一以象三，揲之以四，以象四时。”这六句话的数学内涵，可以用勾股弦定理来解释。赵爽是第一个把这两者联系起来的。他怎么解释的呢？

1. 大衍之数五十，就是勾三股四弦五三者平方之和，即32+42+52=50。
2. 其用四十有九，就是从50个平方单位里去掉一个，组成一个49平方单位的正方形。
3. 分而为二以象两，就是把长度为7的线段分成两部分，造成两个全等的矩形。
4. 挂一以象三，就是以一个矩形为标准，再作三个全等的矩形。
5. 揲之以四以象四时，就是把四个矩形对折，组成一个正方形。

　　赵爽还用代数符号推广了这个定理，真是聪明！

由大衍命题建立“大衍数集二项式定理”

　　大衍命题不光能证明勾股弦定理，还能导出一个更基本的数论定理，叫“大衍数集二项式定理”。

1. 大衍命题的数学公式：大衍之数50，用数49，都是自然数集中的连续数，差1。所以，50=49+1。进一步想，49和1都是平方数，49=72，1=12，所以50=72+12。
2. 大衍命题的归纳步骤：自然数集是公差为1的算术级数，符合归纳法则。比如，1=0+1，2=1+1，5=4+1，10=9+1，50=49+1。
3. 大衍数集二项式定理：存在一个与自然数集对应的“大衍数集”，定义为{n2+1 : n=0,1,2,…}，比如1, 2, 5, 10, 50, 82,…

大衍命题的数学应用举例

1. 大衍命题的逆向命题：数学函数常有正向和逆向关系，比如加法和减法。大衍命题的逆向命题是“小敛之数48，其用有49”，公式为敛数=用数-1=n2+i2（i2=-1）。
2. 大衍命题与幻方数学：幻方是古老的数学游戏，起源于《洛书》。大衍命题和幻方数学在结构上同构，都以自然数集的基数为构成元，操作是n2。
3. 设计“基督圣杯”：根据大衍命题，设计了“基督圣杯”，并在美国麻州注册版权。设计过程包括宇宙阴阳两仪区域图、阴阳共轭两仪镜影图和“基督圣杯”图。

结 语

　　通过研究《周易·大衍》命题，得出三点结论：

1. 大衍命题揭示了建立《大衍数集》和《幻方数学》的理论依据。
2. 根据大衍命题，可以设计出“基督圣杯”，初步实现了西方学者的愿望。
3. 大衍命题的数学内涵，为中西文明提供了共同的数学思维基础。

　　思考题： 你觉得大衍命题在现代数学中还有哪些应用潜力？欢迎分享你的观点！